మన ప్రాచీనులకి ’పై’ విలువ 31 దశాంశాల వరకు తెలుసా?

ర్తి

పై విలువని సూచించే పద్యం

క్రీ.శ. 950 ప్రాంతానికి చెందిన రెండవ ఆర్యభట్టు గణితంలో, జ్యోతిషంలో ఆరితేరినవాడు. ఖగోళ, గణిత శాస్త్రాల మీద ఇతడు ’మహాఆర్య సిద్ధాంతం’ అనే పుస్తకం రచించాడు. ఇందులో అక్షరాలతో, పద్యాలలో సంఖ్యలని వ్యక్తం చెయ్యడానికి ఇతడు ఓ చక్కని పద్ధతి సూచించాడు. దానికి "కటపయాది" పద్ధతి అని పేరు. ఈ పద్ధతిలో ప్రతీ హల్లుకి ఒక సంఖ్య విలువ ఈ విధంగా ఇవ్వబడుతుంది.

క, ట, ప, య = 1 ; ఖ, ఠ, ఫ, ర = 2
గ, డ, బ, ల = 3; ఘ, ఢ, భ, వ = 4
జ, ణ, మ, శ = 5; చ, త, ష = 6
ఛ, థ, స = 7; జ, ద, హ = 8
ఝ, ధ = 9; ఞ్, న = 0

హల్లుకి, అచ్చు ఏది చేరినా హల్లు విలువ మారదు.
ఉదాహరణకి క, కా, కి, కీ, మొదలైన వాటన్నిటి విలువ 1 మాత్రమే.

ఈ పద్ధతి ప్రకారం ’పై’ విలువ ఈ కింది సంస్కృత పద్యంలో పొందుపరచబడి ఉంది.

గోపీ భాగ్య మధువ్రాత శృఞ్గి శోదరి సంధిగ
ఖల జీవిత ఖాతావగల హాలార సంధర ||

ఈ పద్యాన్ని కృష్ణుడి పరంగాను, శివుడి పరంగాను కూడా చెప్పుకోవచ్చట. సంస్కృతం తెలిసిన వారు కొంచెం ఈ పద్యం అర్థం (అర్థాలు) చెప్పగలరు.

కటపయాది పద్ధతిలో హల్లుల విలువలని పై పద్యంలో అక్షరాలకి వర్తింపజేస్తే వచ్చే సంఖ్య...

3141592653589793 (మొదటి పాదం)
2384626433832792 (రెండవ పాదం)

(ఆధునిక ’పై’ విలువ (31 దశాంశ స్థానాల వరకు) =
3.1415926535897932384626433832795
http://ja0hxv.calico.jp/pai/epivalue.html
31 వ దశాంశ స్థానం లో మాత్రమే ఆధునిక విలువకి, ఆర్యభట్టు ఇచ్చిన విలువకి మధ్య తేడా ఉందని గమనించగలరు.)

వెయ్యేళ్ల క్రితం ’పై’ విలువని అన్ని దశాంశ స్థానాల వరకు లెక్కించగలడమే ఒక అద్భుతం! దానికి తోడు ఆ విలువని రెండు అర్థాలు వచ్చే పద్యంలో నిక్షిప్తం చెయ్యడం ఇంకా విచిత్రం!

ఆ పుస్తకంలో ఇలాంటి విశేషాలు ఎన్నో ఉన్నాయట.

మూలం:
ప్రఖ్యా సత్యనారాయణ శర్మ, "గణితభారతి: పరిశోధనాత్మక గ్రంథము" గోల్డెన్ పబ్లిషర్స్, హైదరాబాద్, 1991.


(మేం చిన్నప్పుడు ’పై’ విలువని గుర్తుంచుకోవడానికి ఓ mnemonic ని వాడేవాళ్లం.
May I have a large container of coffee.
(3. 1 4 1 5 9 2 6)

కాని పై పద్యం ముందు ఈ ’పై’ వాక్యం ఆటబొమ్మలా అనిపిస్తుంది.) 

 http://scienceintelugu.blogspot.in/2009/09/31.html

బక్షాళి వ్రాతప్రతి - ప్రాచీన భారతం మనకిచ్చిన గణిత బహుమతి

బక్షాళి వ్రాతప్రతి గురించి ప్రఖా సత్యనారాయణ శర్మ గారి పుస్తకంలో ఇచ్చిన పరిచయాన్ని ఈ కింది రెండు పేరాలలో ఉన్నదున్నట్టు ఇస్తున్నాను.

"అది 1881 వ సంవత్సరం. ఆగస్టు నెల.
పెషావర్ జిల్లా, బక్షాళి గ్రామం. మార్ధాన్. బక్షాళి రహదారికి తూర్పు పక్కనే ఉన్న మట్టి దిబ్బలు. ఒకప్పుడు అక్కడ ఉన్న ఒక గ్రామము శిధిలమై ఆ మట్టి దిబ్బల్లో, రాళ్లు రప్పల్లో కలిసిపోయి వుంది. ఎవరో బహుశా ఏ నిధి నిక్షేపాల కోసమో ఓ దిబ్బను తవ్వుతున్నారు. క్రమంగా రాళ్లు, రప్పలు, ఒక శిధిల గృహం బయటపడ్డాయి. అందులో నేల మీద ఒక మూల త్రిభుజాకృతిలో ’దివా’ అనబడే రాతినిర్మాణము, వ్రాయటానికి ఉపయోగించే సుద్ద, అడుగున చిన్న చిన్న రంధ్రాలతో ఉన్న పెద్ద మట్టి పాత్ర ఉన్నాయి. వాటిని ఆశగా బయటికి తీశారు. వాళ్లు ఆశించిన నిధి నిక్షేపాలేవీ లేవు. కాని అంతకన్నా విలువైనదే ఉన్నది. శిధిలస్థితిలో ఉన్న భూర్జపత్రాల గ్రంథం ఒకటి అందులో ఉంది. అజాగ్రత్తగా తీయటంలో మరికొంత శిధిలమయ్యింది. ఎలాగోలా పూర్తిగా శిధిలం కాకమునుపే అది లాహోరు జేరింది. కొంతలో కొంత నయం. దాని మీద పరిశోధనలు జరిగి కొన్ని అంశాలు 1888 లో వెలుగులోకి వచ్చాయి. దాదాపు ప్రతీ భారతీయ పురాతన వ్రాతప్రతులకు ఏ దురదృష్టము పట్టిందో అలాగే ఇది కూడా విదేశాలకు చేరింది. ప్రస్తుతము అమూల్యమైన ఈ వ్రాతప్రతి బొడిలియన్ లైబ్రరీ (Bodleian library), ఆక్స్ ఫర్డ్ అధీనంలో ఉంది.

"1927 లో రెండు భాగాలుగా, 1933 లోమూడవ భాగంగా భాక్షాళి వ్రాతప్రతిలోని అంశాలు ప్రచురించబడ్డాయి. సుమారు 70 భూర్జ పత్రాలలో అంకగణిత, బీజగణిత అత్యున్నత భావాలు, సమస్యలు, సాధనలు గల్గి వున్న అపురూప గ్రంథమిది. అది ఎనిమిదవ శతాబ్దములో తిరిగి వ్రాయబడిన భూర్జపత్ర గ్రంథమయినప్పటికి దీని మూలప్రతి క్రీ.పూ. 200 నుండి క్రీ.శ. 200 లోపు ఎప్పుడో ఒకప్పుడు వ్రాయబడి ఉంటుందని దాని లోని సందర్భము, భాష, శైలి, సాహిత్య విధానము, ఛందస్సు వంటి అంశాల ఆధారంగా నిర్ణయించారు. వేద కాలం నాటి గణితానికి, ఆర్యభటతో ప్రారంభమైన సిద్ధాంత గణితానికి మధ్య కాలపు అగాధాన్ని ఈ గ్రంథము చాలా వరకు పూర్తి చేసి ఒక వారధిగా పనిచేస్తుంది."

బక్షాళి వ్రాతప్రతిలో కనిపించిన కొన్ని గణిత విశేషాలు:
(http://www.gap-system.org/~history/HistTopics/Bakhshali_manuscript.html)

1. వర్గమూలాన్ని (square root) కనుక్కోవడానికి ఒక సూత్రం:
sqrt(Q) = sqrt(A^2 + b) = A + b/2A - (b/2A)^2/(2(A+b/2A))

ఉదాహరణకి Q = 41, అనుకుందాం. అది వర్గం కాదు. కనుక దాని కన్నా తక్కువై, అత్యంత సమీపంలో ఉన్న వర్గాన్ని తీసుకోవాలి. అది 36. అంటే A=6. మరి Q = A^2 + b, కనుక b = 41-36 = 5 అవుతుంది. A, b విలువలని పై సూత్రంలో ప్రతిక్షేపిస్తే,

sqrt(Q) = 6.403138528 అని వస్తుంది. ఇది ఆధునిక విలువ అయిన 6.403124237 తో నాలుగు దశాంశ స్థానాల వరకు సరిపోతోంది.

2. బక్షాళి వ్రాతప్రతిలో మరో విశేషం అనిర్దేశిత సమీకరణాలు (indeterminate equations). అంటే పూర్తి సమాచారం లేకుండా పరిష్కారం కనుక్కోవలసిన సమీకరణాలు. ఉదాహరణకి -

ఒక వర్తకుడి వద్ద 7 అశ్వాలు ఉన్నాయి. మరో వ్యక్తి వద్ద 9 హయాలు ఉన్నాయి. మూడో వ్యక్తి వద్ద 10 ఒంటెలు ఉన్నాయి. ప్రతి ఒక్కరు మిగతా ఇద్దరికీ చెరో జంతువు సమర్పించుకుంటారు. ఇప్పుడు అందరి వద్ద ఉన్న జంతువుల విలువ ఒక్కటే. ఒక్కొక్క జంతువు విలువ కనుక్కోండి. ఒక్కొక్క వ్యక్తి వద్ద ఉండే మొత్తం జంతువుల విలువ కనుక్కోండి.
(ఇక్కడ ’అశ్వం’, ’హయం’ అంటే రెండు విభిన్న రకాల గుర్రాలు అన్న అర్థంలో వాడినట్టుంది.)

అశ్వం ఖరీదు = a
హయం ఖరీదు = b
ఒంటె ఖరీదు = c
అనుకుందాం.
మొదటి వ్యక్తి వద్ద మొత్తం జంతువుల విలువ = 5a + b + c
రెండవ వ్యక్తి వద్ద మొత్తం జంతువుల విలువ = a + 7b + c
మూడో వ్యక్తి వద్ద మొత్తం జంతువుల విలువ = a + b + 8c
ఈ మూడు విలువలు ఒక్కటే కనుక,
5a + b + c =a + 7b + c=a + b + 8c = k
అనుకుందాం.
దీని నుంచి,
4a=6b=7c=k-(a+b+c)
అని తెలుస్తుంది.
ఈ సమీకరణాల నుంచి a,b,c ల నిష్పత్తి తెలుస్తుంది గాని, అసలు విలువ తెలియదు. తెలుసుకోలేము కూడా. అందుకే వాటిని అనిర్దేశిత సమీకరణాలు అంటారు. ఏ విలువైనా తీసుకోవచ్చు కనుక సాధ్యమైన విలువలలో కనిష్ఠ విలువలని తీసుకుందాం.

ఇప్పుడు (k-(a+b+c)) అనే విలువ 4, 6, 7 అనే అంకెల చేత భాగింపబడాలి కనుక,
k-(a+b+c) = 4 X 6 X7
అనుకోవచ్చు, అంటే 168 అవుతుంది. బక్షాళీ వ్రాతపత్రి ఈ విలువనే తీసుకుంటుంది. కాని అది కొంచెం పెద్ద సంఖ్య. అంత కన్నా చిన్నది కావాలంటే,
4, 6, 7 ల కనిష్ఠ సామాన్య గుణకం (least common multiple - lcm) ని తీసుకుంటే సరిపోతుంది. దాని విలువ 84.

4a=6b=7c=84
అయితే a=21, b=14, c=12, అవుతుంది. 

 http://scienceintelugu.blogspot.in/2009/11/blog-post_1763.html

ప్రాచీన భారత విజ్ఞానం : భారతదేశానికి సముద్రమార్గాన్ని కనుగొన్నవాడు వాస్కోడగామా అనడం ఎంతవరకు సత్యం?

మనదేశంలో ఆంగ్లేయుల ద్వారా ప్రచారం చేయబడిన భ్రమలలో ఇదొకటి. ఇందులో వాస్కోడగామా భారత్ రావడం మాత్రమే సత్యం. కాని ఆయన ఎలా వచ్చాడనేది తెలిసికొంటేనే మనకు సత్యం ఏమిటో తెలుస్తుంది.

సుప్రసిద్ధ పురాతత్వ వేత్త, పద్మశ్రీ డా. విష్ణు శ్రీధర వాకణ్‌కర్ ఇలా తెలిపినారు: "నేను నా పర్యటనలో భాగంగా ఒకసారి స్పెయిన్ వెళ్ళినాను. అక్కడ నాకు వాస్కోడగామా డైరీ లభించింది. దానిలో వాస్కోడగామా భారత్‌కు ఎలా వచ్చాడో వివరంగా ఉంది. అందులో ఆయనిలా వ్రాసినాడు: నా పడవ ఆఫ్రికాలోని జాంజిబారు తీరం చేరుకొన్నప్పుడు నా ఓడ కన్నా మూడురెట్లు పెద్దగా ఉన్న ఓడను అక్కడ నేను చూసినాను. ఒక ఆఫ్రికన్ దుబాసిని తీసికొని ఆ పెద్ద ఓడయొక్క యజమానిని కలిసినాను. ఆ యజమాని పేరు స్కందుడు - గుజరాతీ వ్యాపారి. భారతదేశం నుండి జాజి చెట్టు మరియు టేకు చెట్టు కలపను, మసాలా ద్రవ్యములు తీసికొని వచ్చాడు. వానికి బదులుగా ముత్యములు తీసికొని కొచ్చిన్ ఓడరేవుకు వచ్చి వ్యాపారం చేసేవాడు. వాస్కోడగామా స్కందుడను పేరు గల ఆ వ్యాపారిని కలుసుకొనుటకు వెళ్ళినపుడాతడు సాధారణ వేషంలో ఒక చిన్న మంచముపై కూర్చుండియున్నాడు. అతడు వాస్కోడగామాతో ఎక్కడికి వెళ్ళుచున్నారని అడిగినాడు. వాస్కోడగామా హిందూదేశం చూడటానికి వెళ్తున్నానన్నాడు. అప్పుడా వ్యాపారి నేనూ రేపు అటే వెళ్తున్నాను. నా వెనుక అనుసరించి రమ్మన్నాడు." ఆ విధంగా ఆ వ్యాపారి ఓడను అనుసరించి వచ్చి వాస్కోడగామా భారత్ చేరినాడు. ఈ సత్యం స్వతంత్ర భారతంలోనైనా మన నవతరానికి చెప్పవలసింది. కాని దురదృష్టవశాత్తు అలా జరగటం లేదు.

పై సంఘటన చదివిన పిమ్మట మన మనసులోనికి ఒక ఆలోచన తప్పక వస్తుంది. నౌకా నిర్మాణంలో ఇంత ఉన్నతస్థితిలోనున్న దేశంలో ఇప్పుడా విద్య ఎందుకు నశించిపోయింది? ఆంగ్లేయులు వచ్చిన పిదప వారిపాలనలో ఒక పథకం ప్రకారం కుట్రపన్ని నౌకానిర్మాణ పరిశ్రమను నాశనం చేసినారనే చారిత్రక సత్యాన్ని తప్పక తెలిసికోవాలి. ఈ చరిత్రను వివరిస్తూ ప్రఖ్యాత చరిత్రకారుడు శ్రీ గంగా శంకరమిశ్రా ఇలా వ్రాసినారు:

"అందరికన్న ముందున్న హిందువులు"

పాశ్చాత్యులు భారతదేశానికి రాకపోకలు సాగించినపుడు వారిక్కడి ఓడల్ని చూసి ఆశ్చర్యపోయినారు. 17 వ శతాబ్దం నాటివరకు కూడా ఐరోపావారి ఓడలు అధికాధికంగా ఆరువందల టన్నుల సామర్థ్యం మాత్రమే కలిగి ఉండేవి. కాని భారత్‌లో "గోఘా" పేరుగల పెద్ద ఓడలు 15 వందల టన్నుల సామర్థ్యం కలిగి ఉన్నట్లు ఐరోపావారు తెలిసికొన్నారు. ఐరోపా కంపెనీలు ఇలాంటి పెద్ద ఓడల్ని వినియోగించడం మొదలు పెట్టాయి. నైపుణ్యము గల హిందూదేశ కార్మికుల ద్వారా పెద్ద ఓడల్ని తయారుచేయించే పరిశ్రమల్ని అనేకం ప్రారంభించారు. 1811 సంవత్సరంలో లెఫ్టినెంటు వాకర్ ఇలా వ్రాసినాడు: బ్రిటిషువారి ఓడలన్నీ ప్రతి పన్నెండేళ్ళకు మరమ్మతుల పాలయ్యేవి. కాని భారతీయ ఓడలు టేకుకర్రతో చేయబడి 50 సంవత్సరాలకు పైగా ఎలాంటి మరమ్మతులు అవసరం లేకుండానే పనిచేసేవి. ఈస్టిండియా కంపెనీ వద్ద "దరియా దౌలత్" అనే పేరు గల ఒక ఓడ ఉండేది. అది 87 సంవత్సరాలపాటు మరమ్మతులు లేకుండా చక్కగా పనిచేసింది. భారతదేశంలో ఓడల నిర్మాణానికి సీసం కర్ర ( చండ్రచెట్టు కలప ), సాల వృక్షము కర్ర, టేకు కర్ర -- ఈ మూడు రకాల కలప వాడేవారు.

1811లో ఒక ఫ్రెంచి యాత్రికుడు వాల్ట్ జర్ సాల్విన్స్ "లే హిందూ" అనే పుస్తకం వ్రాసినాడు. "ప్రాచీన కాలం నుండి నౌకా నిర్మాణ కళలో హిందువులు చలా ఆరితేరియున్నారు. నేడు కూడా వారీ కళలో యూరపువారికి పాఠము చెప్పగల సమర్థులే. ఆంగ్లేయులు హిందువుల నుండి నౌకా నిర్మాణ కళను నేర్చుకొనుటకు చాలా ఉత్సాహం చూపేవారు. హిందువల వద్ద అనేక విషయాలు తెలుసుకొన్నారు. భారతీయ ఓడలలో సౌందర్యం, నాణ్యత కలగలసి ఉండేవి. ఈ ఓడలు హిందువుల యొక్క నిర్మాణ కౌశల్యానికి మరియు ధైర్యసాహసాలకూ ప్రతీకలుగా ఉన్నవి." ముంబాయిలోని పరిశ్రమలో 1736 నుండి 1863 వరకు 300 పెద్ద ఓడలు తయారైనవి. వీనిలో ఎక్కువ ఓడలను ఆంగ్లేయ నౌకాదళం "షాహీబేడే"లో చేర్చుకొన్నారు. వీనిలో "ఏషియా" అను పేరుగల ఓడ 2289 టన్నుల సామర్థ్యం కలది. దానిలో 84 ఫిరంగులు అమర్చబడి యుండెను. బెంగాలులోని హుగ్లీ, సిల్‌హట్, చట్టగాఁవ్, ఢాకా మొదలగు చోట్ల నౌకా నిర్మాణ పరిశ్రమలుండేవి. 1781 నుండి 1821 వరకు, 1,22,693 టన్నుల సామర్థ్యం గల 272 ఓడలు కేవలం ఒక హుగ్లీలోనే తయారైనవి.

ఆంగ్లేయుల కుటిలత్వము:

బ్రిటిషు ఓడలవ్యాపారులు భారతీయుల నౌకా నిర్మాణ కళా ఔన్నత్యాన్ని ఓర్వలేకపోయినారు. భారతీయ ఓడల్ని వాడవద్దని ఈస్టిండియా కంపెనీపై ఒత్తిడి తీసికొచ్చారు. ఈ విషయంలో అనేక విచారణలు కూడా జరిగినవి. 1811 లో కర్నల్ వాకర్ గణాంకాలతో సహా ఋజువు చేసినాడు. "భారతీయ ఓడలకు ఖర్చు తక్కువ, అవి చాలా బలంగా ఉంటాయి. బ్రిటిష్ నౌకాదళంలో కేవలం భారతీయ ఓడలనే వాడినచో చాలా పొదుపు అవుతుంది." బ్రిటిష్ నౌకానిర్మాణ కార్మికులు మరియు వ్యాపారులు ఉభయులలో ఈ మాట చాలా భయాందోళన్ కలిగించింది. డాక్టర్ టేలర్ అనునతడు ఇలా వ్రాసినాడు: "హిందూదేశపు సరకులతో నిండిన భారతీయ ఓడ లండన్ ఓడరేవు చేరుకొన్నపుడు ఆంగ్లేయ ఓడల వ్యాపారులు చాలా భయ కంపితులయ్యేవారు. థేమ్సునది ఒడ్డున శత్రువుల నౌకాదళపు ఓడల్ని చూసినపుడు కూడా అంతగా భయపడేవారు కాదు."

లండన్ ఓడరేవులో పనిచేసే కార్మికులు అందరికన్న ముందు ఆందోళనకు దిగినారు. "మన పనులన్నీ నష్టాల పాలవుతాయి. మా కుటుంబాలు పస్తులతో చస్తారు" అని గోల చేసినారు. ఈస్టిండియా కంపెనీ బోర్డు ఆఫ్ డైరెక్టర్స్ ఇలా వ్రాసినారు: "హిందూ దేశపు ఓడ పనివారలు ( కళాసీలు ) ఇక్కడికి వచ్చి మన సామాజిక స్థితిగతులను చూస్తారు. దానితో మనపై వారికున్న గౌరవం, భయభక్తులు పూర్తిగా మంటగలసి పోతాయి. వాళ్ళ దేశం వెళ్ళి మనలోని లోపాలను, లొసుగులను, మన బండారాన్ని బయటపెట్టి ప్రచారం చేస్తారు. దానితో ఆసియావాసులకు మన పట్ల ఉన్న ఆదరభావం నశిస్తుంది. ఈ ఆదరభావము, భయభక్తుల వలననే మనం ప్రభుత్వాన్ని నిలుపుకొని యుండగలిగినాము. ఇపుడది కాస్త లేకుండాపోతుంది. కావున దీని ప్రభావం మనకు చాలా హానికారకమవుతుంది." వెంటనే ఆంగ్ల పార్లమెంటు సర్ రాబర్ట్‌పీల్ అధ్యక్షతన దీనిపై ఒక కమిటీ వేసినారు.

నల్లచట్టము:

ఈ కమిటీ సభ్యులలో పరస్పరము -- అభిప్రాయభేదము లేర్పడినవి. అయినా పై రిపోర్టు ఆధారంగా ఒక చట్టమును 1814లో తెచ్చారు. దీని ప్రకారం భారతీయ కళాసీలకు బ్రిటిషు నావికులుగా పనిచేయు అర్హత లేదు. బ్రిటిషు ఓడలలో తక్కువలో తక్కువ 3/4 వంతు బ్రిటిషు కళాసీలను నియమించుట తప్పనిసరి. బ్రిటిషువారిని కాకుండా ఇతర దేశాలకు చెందిన యజమానుల ఓడలు లండన్ ఓడరేవులో ప్రవేశించే వీలులేదు. ఇంగ్లండులో తయారైన ఓడల ద్వారానే బయటిదేశాల సరకులు ఇంగ్లండుకు రావాలి." --- ఇలాంటి నల్లచట్టము అనేక కారణాల వలన మొదట అమలు కాకున్నను తర్వాత 1863 నుండి ఇది పూర్తిగా అమలు చేయబడినది. భారతదేశంలో కూడా ఇలాంటి నియమాలు గల నల్ల చట్టము తేబడినది. దీనివలన భారతదేశంలోని ప్రాచీన నౌకా నిర్మాణ కళ అంతరించిపోయినది. భారతీయ ఓడలపైన, సరకులపైన విధించిన పన్ను బాగా పెంచబడింది. ఇలా భారతీయ వ్యాపారుల్ని ఓడల్ని వ్యాపారం చేయకుండా వేరు చేయడం జరిగింది.

సర్ విలియం డిగ్వీ అనునతడు ఇలా చాలా చక్కగా చెప్పినాడు: "పాశ్చాత్య ప్రపంచపు రాణి ( బ్రిటిషురాణి ) ప్రాచ్య సాగర రాణిని ఇలా వధించివేసింది" భారతీయ నౌకా నిర్మాణ కళ ముగిసిపోయిన తీరును తెలియజెప్పే సంక్షిప్త ఇతిహాసమిదే!"

మూలం: భారతీయ ఉజ్వల వైజ్ఞానికి పరంపర.
రచయిత: సురేశ్ సోని, తెలుగు అనువాదం: బెల్లంకొండ మల్లారెడ్డి.
నవయుగ భారతి ప్రచురణలు.


http://scienceintelugu.blogspot.in/2010/03/blog-post_05.html